<aside> 💡 一个装满了偏导数的矩阵

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Jacobian Matrix 翻译为 雅克比矩阵

定义

Jacobian 是针对函数来说的，对于一个函数 $\mathbf{f}:\mathbf{R}^{n}\to\mathbf{R}^{m}$ , 输入是 n 维，输出是 m 维，则它的 Jacobian Matrix 是一个 $m \times n$ 的矩阵（m行n列）。

• 每一行是第 i 个输出对输入的偏导， $J_{i j}\rightarrow\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}$。

$$ \mathbf{J}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_{n}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\nabla^{\mathrm{T}} f_{1} \\\vdots \\\nabla^{\mathrm{T}} f_{m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}\end{array}\right] $$

常用的 Notation 包括

$$ D{\bf f},{\bf J}{\mathrm{f}},{\bf V}{\bf f},{{\frac{\partial(f_{1},\ldots,f_{m})}{\partial(x_{1},\ldots,x_{n})}}.} $$